Gimė 1956 m. Kaune. 1967 - 1975 m. mokėsi J. Naujalio Meno mokykloje. 1979 m. baigė Lietuvos valstybinį dailės institutą, kur studijavo tapybą. Parodose dalyvauja nuo 1983 m.
1982 - 1983 m. dailininkas studijavo Teofaną Graiką, kopijavo XIII a. freskas. 1983 m. gyveno Dovainonyse, Beržore, vėliau Šarnelėje. Studijavo lietuvių liaudies tapybą, restauravo stacijas ( Kryžiaus kelio stotis ). 1990 - 1994 gyveno ir dirbo Berlyne. Surengė personalines parodas Berlyne, Hamburge, Rostoke. 1994- 2005 m. gyveno Niujorke. Per tą laiką filmavosi eksperimentiniuose filmuose, dalyvavo hepeninguose, festivaliuose, surengė personalines parodas Niujorke bei dalyvavo grupinėse parodose Roterdame, Pietų Korėjoje, Vilniuje, Paryžiuje, kūrė ranka pieštus filmus. Kartu su J. Meku ir D. Naujokaičiu Niujorke subūrė grupę „Music on the 2nd street", kūrė muziką J. Meko, Juliaus Ziz filmams, iliustravo J. Meko knygas „Mano Naktys", „Žodžiai ir Raidės". Knyga „Mano naktys" Lietuvoje buvo pripažinta gražiausiu 2007-ųjų metų leidiniu.
Nuo 2005- ųjų gyvena ir dirba Kaune.
Vyresnioji karta E. Varkulevičių pažįsta kaip ekspresionistinių, egzistencinės kančios paženklintų religinės tematikos drobių autorių. Daugelio atmintyje įstrigę subjektyviai interpretuotos garsiosios Beržoro stacijos, kurias dailininkas tapė nuo 1983 metų gyvendamas Žemaitijoje, sename gatviniame Beržoro kaime Plungės rajone.
Grįžęs į Lietuvą dailininkas ėmėsi tapyti didelio formato spalvingas ir emocionalias poetines abstrakcijas, iš kurių išaugo didžiulis tapybos ir video instaliacijų ciklas "Pasroviui". Tai improvizacijos vandens tema, kuriose gausu aliuzijų į laikinumą ir nuolatinę kaitą. Dauguma šių kūrinių gimė po ilgų pasivaikščiojimų Nemuno pakrantėse ir Santakoje, kur menininkas stebėdavo ir filmuodavo tekantį vandenį. Abstrakcijų skalėje: minimalistinės, japoniška estetika alsuojančios, tušu lietos achromatinės kompozicijos ir sudėtingos struktūros daugiasluoksniai kūriniai. Įvaldęs liejimo techniką, dailininkas eksperimentuoja su lesiruotėmis ir spalvinių dėmių santykiais, varijuoja stichiškos, spontaniškos ir ritmiškos kompozicijos galimybėmis. E. Varkulevičiaus tapyboje ryški ekologinė ir filosofinė linija, kviečianti pasinerti į kasdienybės poeziją, į vandens tėkmę ir jos keliamas asociacijas.
Pastarųjų metų darbuose dailininkas linksta į monochromiją ir renkasi pačios gamtos padiktuotą spalvinę gamą. Pasak Eugenijaus, spalvinių idėjų jis semiasi iš paprasto lauko akmens ar kažkur atsitiktinai rastų kaulų paviršiaus, paukščių plunksnų ornamentų bei tokių medžiagų, kaip molis, suodžiai ar pelenai. Šiose medžiagose tapytojas atranda gamtos harmoniją, poetišką natūralumo ir tikrumo žavesį.